Těleso je ve stavu rovnováhy, pokud je v klidu vzhledem k nějaké inerciální vztažné soustavě. Studium podmínek rovnováhy těles má velký praktický význam při tvorbě budov, konstrukcí, strojů a mechanismů.
Podmínky pro rovnováhu těles
První podmínka rovnováhy je formulována z druhého Newtonova zákona: těleso může být v klidu v nějaké inerciální vztažné soustavě pouze tehdy, je-li výslednice všech sil působících na toto těleso (hmotný bod) rovna nule. První podmínka rovnováhy je tedy zapsána takto:
Abychom našli těleso ve stavu rovnováhy, musí být výsledné síly působící na těleso rovné nule.
Pokud těleso nelze považovat za hmotný bod, pak první podmínka rovnováhy nebude dostatečná. Uvažujme tyč, na kterou působí dvě síly stejné velikosti a opačného směru ($ >_1 a >_2 $) Obr.1. Tato tyč se může otáčet kolem své osy, proto není ve stavu rovnováhy.
Pro formulaci druhé podmínky rovnováhy použijeme takovou fyzikální veličinu, jako je moment síly ($overline$):
kde $overlinetimes overline$ je křížový produkt; $left|overlineright|=left|overlineright|cdot left|overlineright| >$; $widehat $ je úhel mezi vektorem síly a vektorem poloměru ($overline$), který se kreslí od bodu otáčení k bodu působení síly. Směr vektoru silového momentu je určen pravidlem pravého šroubu (Pravý šroub se otočí z $overline $ vektoru do $overline $ vektoru podél nejkratší vzdálenosti, zatímco translační pohyb šroubu udává směr síly momentový vektor).
Těleso, které má schopnost otáčet se kolem pevné osy, je v rovnovážném stavu, pokud je součet momentů všech sil působících na něj vzhledem k libovolné ose otáčení roven nule:
Druhá podmínka rovnováhy se nazývá pravidlo momentů sil. $$textit<>
Typy tělesné rovnováhy
Rovnováhu můžeme rozdělit na: stabilní, nestabilní a indiferentní.
Rovnováha tělesa se nazývá stabilní, jestliže při malých posunech mají síly na něj působící tendenci vrátit jej opět do rovnovážné polohy.
Rovnovážná poloha se nazývá nestabilní, jestliže při malých posunech síly působící na těleso jej z rovnovážné polohy ještě více vzdalují.
Jsou-li při malých posunech z rovnovážné polohy síly působící na těleso a jejich momenty vyrovnány jako dříve, pak se taková rovnováha nazývá indiferentní.
Ve stabilní rovnovážné poloze zaujímá těžiště nejnižší polohu ve srovnání se všemi možnými sousedními polohami těla. Stabilní rovnováha odpovídá minimální potenciální energii tělesa vzhledem k jeho hodnotám v sousedních polohách téhož tělesa. Princip minimální potenciální energie je jedním z obecných principů stability rovnováhy různých systémů.
1) Předpokládejme, že těleso se může otáčet kolem pevné osy. Těleso je v rovnovážné poloze, pokud osa prochází těžištěm tělesa (indiferentní rovnováha). Pokud je těžiště tělesa pod osou otáčení, pak bude rovnovážná poloha tělesa stabilní. Nechť je osa rotace umístěna pod těžištěm těla, pak bude rovnováha nestabilní.
2) Pokud má těleso opěrný bod (například koule ležící na podložce), pak je těleso ve stavu stabilní rovnováhy, kdy výslednice všech sil působících na těleso směřuje do rovnovážné polohy. Pokud je výslednice nula, pak je rovnovážná poloha indiferentní. Poloha tělesa nebude ve stabilní rovnováze, pokud výslednice sil působících na těleso směřuje pryč z rovnovážné polohy.
3) Nechte tělo mít opěrnou plochu. Pak bude jeho rovnováha stabilní, pokud svislá čára vedená středem hmoty tohoto těla protíná oblast podpory.
Příklady problémů s řešením
Cvičení. Jsou zde dva kulaté válce s poloměry R a r. Jeden z válců leží na vodorovné rovině, druhý v rovnovážném stavu na ní (obr. 1). Osy tužek jsou na sebe kolmé. Při jakém poměru poloměrů válců bude rovnováha stabilní? Koeficient tření válců vůči sobě je roven $mu .$
Řešení. Horní válec je vyvážen na spodním válci ve vodorovné poloze. V tomto případě jsou těžiště válců $O_1 a O_2$ umístěna na stejné vertikále. Vychylme horní válec o úhel $varphi$ od vodorovné roviny. Pokud by nedocházelo ke tření, okamžitě by sklouzlo. Tření budeme považovat za významné. Poté se při vychýlení horní válec odvaluje bez prokluzu. Opěrný bod z polohy A přechází do polohy C. Bod, ve kterém se horní válec opřel o spodní, přechází do B. V našem případě (nedochází k prokluzování) je délka oblouku AC rovna délce segment BC:
[AC=Rvarphi =BC vlevo (1.1vpravo).]
Těžiště horního válce jde do bodu $O_3$. Pokud vertikála obsahující bod $O_3,$ prochází vlevo od osy C, pak gravitační síla má tendenci vrátit horní válec do rovnovážné polohy.
Zapišme tuto podmínku matematicky. Nakreslíme svislou čáru bodem B. Musí být splněna následující podmínka:
[BE varphi $ (0 $ Příklad 2
Cvičení. Jaký je maximální úhel, o který může být horní válec vychýlen v prvním příkladu?
Řešení. Pojďme zjistit důvody omezující úhel odchylky. Za prvé, při velkých úhlech vychýlení může svislice vedená těžištěm horního válce procházet vpravo od podpěrného bodu C. Podmínka (1.4):
ověření autoři jsou připraveni pomoci při psaní práce jakékoli složitosti
Pomohli jsme již 4 430 žákům a studentům úspěšně zvládnout úkoly od řešení problémů až po diplomové práce! Zjistěte cenu své práce za 15 minut!
Stále máte otázky?
Zde najdete odpovědi.
Pokud je těleso v rovnovážném stavu, pak je součet vnějších sil, které na něj působí, roven nule a součet momentů těchto sil vůči libovolné ose je roven nule.
Druhy rovnováhy. Stabilní, nestabilní a indiferentní rovnováha
Rovnováha se dělí na: stabilní, nestabilní a indiferentní.
Rovnováha těla se nazývá stabilní, jestliže při malých posunech mají síly na něj působící tendenci vrátit jej opět do rovnovážné polohy.
Rovnovážná poloha se nazývá nestabilní, jestliže při malých posuvech síly působící na těleso jej ještě více vzdalují z rovnovážné polohy.
Jsou-li při malých posunech z rovnovážné polohy síly působící na těleso a jejich momenty vyrovnány jako dříve, pak se taková rovnováha nazývá indiferentní.
Klasickým příkladem typů rovnováhy je poloha koule na podpěrách různých tvarů. Rýže. 1 (a) koule je ve stabilní rovnovážné poloze. Obr. 1 (b) rovnováha těla je nestabilní. Obr. 1 (c) poloha těla je lhostejná.
Pokud má těleso opěrný bod (jako koule na obr. 1) a výslednice všech sil působících na těleso směřuje do rovnovážné polohy, pak je těleso ve stabilní rovnováze. Pokud je výslednice nasměrována ve směru opačném k bodu rovnováhy, pak je těleso v nestabilní rovnováze. Pokud je výslednice sil působících na těleso nulová, pak je rovnováha indiferentní.
Typ rovnováhy tělesa závisí na rozložení jeho hmotnosti a poloze tohoto tělesa vůči ostatním tělesům.
Princip minimální potenciální energie
Ve stabilní rovnovážné poloze zaujímá těžiště nejnižší polohu ve srovnání se všemi možnými sousedními polohami těla. Stabilní rovnováha odpovídá minimální potenciální energii tělesa vzhledem k jeho hodnotám v sousedních polohách téhož tělesa. Princip minimální potenciální energie je jedním z obecných principů stability rovnováhy různých systémů.
Tato vlastnost se používá k nalezení rovnovážné polohy a ke studiu podstaty rovnováhy.
Graf potenciální energie v závislosti na jedné ze souřadnic středu tělesa, například koule (obr. 1(a)) je konkávní křivka. Název takového grafu je potenciální díra. Spodní bod grafu $E_pleft(xright)$ odpovídá stabilní rovnovážné poloze. Pro potenciální energii interakce se Zemí $_p=mgh)$ tvar potenciálové jámy na grafu opakuje tvar misky, ve které se těleso nachází. textit<>
Volně stojící svislý sloup je v poloze stabilní rovnováhy, protože při malých sklonech jeho těžiště zvětšuje svou vzdálenost od podpěry (obr. 2). K tomu dochází, dokud vertikální projekce těžiště nepřekročí nosnou oblast, což znamená, že úhel odchylky sloupu od svislice překročil maximální hodnotu. Ukazuje se, že oblast stability leží v rozmezí od minimální potenciální energie (vertikální poloha) po nejbližší maximum. Pokud sloup leží vodorovně, je jeho oblast stability širší než u svislého sloupu.
U tělesa umístěného na vodorovné podpěře je nutné, aby svislá čára vedená těžištěm tělesa protínala plochu, kterou podpěra omezuje, pak bude těleso v rovnováze. Úhel sklonu těla (obr. 2), ve kterém tělo ještě neklesá, je určen: oblastí podpory a výškou těžiště těla. Čím větší je oblast podpory a čím nižší je těžiště těla, tím je stabilnější.
Statické a dynamické typy tělesné rovnováhy
Z hlediska rovnováhy těla se rozlišují statické a dynamické typy tělesné rovnováhy.
Rovnováha tělesa se nazývá statická, pokud je při působení vnějších sil v klidu.
Dynamická rovnováha je stav tělesa, ve kterém se pohybuje, ale konfigurace jeho sil a energie se nemění.
Příklady problémů s řešením
Cvičení. Jednotné pravítko visí na hřebíku ve stavu rovnováhy. Určete typ vyvážení pro každý výkres.
Řešení. 1) V prvním případě hřebík prochází těžištěm pravítka (Z důvodů symetrie je zřejmé, že těžiště homogenního pravítka je v jeho středu). Rovnovážný stav této linie bude lhostejný. Protože pokud osa rotace prochází těžištěm, pak bude těleso v libovolné poloze tělesa ve stavu indiferentní rovnováhy.
2) Ve druhém případě je osa rotace (hřebík) umístěna nad těžištěm, což znamená, že jsme dosáhli stabilní rovnováhy těla.
3) Ve třetím případě máme nestabilní rovnováhu. Osa rotace je nad těžištěm těla.
Cvičení. Formulujte podmínky pro rovnováhu tělesa 1) s pevnou osou otáčení; 2) těleso s opěrným bodem; 3) těleso s opěrnou oblastí.
Řešení. 1) Může-li se těleso otáčet kolem pevné osy, pak je v rovnovážné poloze, pokud osa prochází těžištěm tělesa (indiferentní rovnováha). Pokud je těžiště tělesa pod osou otáčení (stabilní rovnováha). Pokud je osa rotace pod těžištěm těla, pak bude rovnováha nestabilní.
2) Pokud má těleso opěrný bod (koule obr. 1), pak je těleso ve stavu stabilní rovnováhy, když výslednice všech sil působících na těleso směřuje do rovnovážné polohy. Pokud je výslednice nula, pak je rovnovážná poloha indiferentní. Poloha tělesa nebude ve stabilní rovnováze, pokud výslednice sil působících na těleso směřuje pryč z rovnovážné polohy.
3) Nechte tělo mít opěrnou plochu. Pak bude jeho rovnováha stabilní, pokud svislá čára vedená středem hmoty tohoto těla protíná oblast podpory.
ověření autoři jsou připraveni pomoci při psaní práce jakékoli složitosti
Pomohli jsme již 4 430 žákům a studentům úspěšně zvládnout úkoly od řešení problémů až po diplomové práce! Zjistěte cenu své práce za 15 minut!
