Tato formulace potřebuje objasnění. Když jsou určité objekty uvažovány v matematickém uvažování, okamžitě stanoví, které z nich jsou považovány za rovnocenné nebo ekvivalentní. Například, když jsou studovány skupiny, jsou považovány za izomorfismus *18. I zde tedy považujeme za kompletně objednané sestavy až izomorfismus, tj. až do mapování zachovávajícího objednávku (). Věta tedy znamená následující. Pokud existují dvě zcela uspořádané množiny a , a jednu z nich „aplikujeme“ na druhou, pak se buď budou shodovat, nebo jedna z nich bude levým paprskem té druhé.
| *18 Nezáleží na tom, když jsou ve skupině dva prvky, jsou to 0 a 1 nebo slon a žirafa. Pokud je násobilka pro slon krát žirafa stejná jako nula krát jedna, dobře. |
Důkaz zřejmé transfinitní indukcí. Zaveďme transfinitní indukci na první množinu. Pošleme nejmenší prvek nejmenšímu prvku. Dále nechť všechny , méně než některé , již byly odeslány do prvků . Pokud ještě zbyly prvky bez předobrazu, vybereme z nich ten nejmenší a pošleme mu ho, pokud už žádné prvky bez předobrazu nezůstanou, odešle se levý paprsek. Jinak počkáme, až to skončí.
Definice Zavolejme řadové kompletně objednaná sada. (Opět ve skutečnosti nazýváme ordinál nikoli množinou, ale třídou ekvivalence zcela uspořádaných množin vzhledem k „izomorfní“ relaci.) Mezi ordinály lze zavést řadovou relaci pomocí aplikační věty, tj. levý paprsek (všechny ordinály však netvoří množinu, jinak by existovala množina všech množin).
Podívejme se na počítání pořadových čísel.
První pořadové číslo je . Pak přijde *19. Další řadová číslovka je , pak , atd. Dále následuje řadová číslovka „přirozená čísla“, která se značí . Pokud za všechna přirozená čísla dosadíme největší číslo (dostaneme konvergentní posloupnost), pak to bude atd. až (nebo), tj. až dvě konvergentní posloupnosti za sebou. Dále atd., až . Tuto ordinálu si lze představit takto: vezměte posloupnost a každému prvku přiřaďte konvergentní posloupnost (obr. 10).
| *19 Ve skutečnosti to tak samozřejmě je, ale protože všichni ve škole už byli na psaní zvyklí, tak. |
Po všech počitatelných řadových číslech přichází první nepočitatelné řadové číslo, které lze získat například takto. Pojďme kompletně uspořádat segment. Vezměme minimální nespočitatelný levý paprsek. Zavolejme mu . Takto se dá pokračovat dlouho. V důsledku toho získáme řetěz
Co jsou to kardinálové? Některé ordinály mají zvláštní vlastnost, totiž, že se nerovnají žádnému z jejich levých paprsků. Takové ordinály se nazývají počátečníNebo kardinálové. (Kardinály lze vlastně stále definovat takto: jedná se o ekvivalenční třídy množin s ohledem na vztah „stejně mocný“.) Ordinálové ani kardinálové netvoří množiny, ale tyto „nemnožiny“ jsou v určitém smyslu stejné (můžeme použít poněkud formalizovaný aplikační teorém pro třídu ordinálů a třídu kardinálů).
11.1. Hypotéza kontinua
Je jasné, že kardinály lze sčítat (co se stane?), násobit (vymyslet jak) atd., ale pro ně je také definován pojem stupně: pomocí označte mocninu množiny všech podmnožin . Je jasné, řekněme, že , ale vůbec není jasné, zda a jsou si rovni. Některé věci jsou jisté. Provede se například následující
Teorém. nemůže být reprezentován jako spojení spočítatelného počtu množin mohutnosti menší než kontinuum.
Jiným způsobem to lze říci takto: pokud je kontinuum rozděleno na sjednocení spočetného počtu množin, pak alespoň jedna z nich má mohutnost kontinua. Pokud bychom věděli, že množina mohutnosti menší než kontinuum je spočetná, pak je vše zřejmé: spočetný svazek spočetných množin je spočetný. Ale to nevíme. Přesto se pokuste tuto větu dokázat.
Obecnější tvrzení lze dokázat podobně:
to znamená, že množina všech podmnožin není reprezentována jako spojení „kusů“ množin mohutnosti menší než . Jak se ukazuje, platí následující
Teorém. Výše uvedená věta a řádový vztah, který jsme zavedli mezi kardinály, jsou jedinými omezeními pro celý řetězec kardinálů (tj. za těchto dvou podmínek se „může stát cokoliv“).
To znamená následující. Po mnoho let se matematici pokoušeli dokázat nebo vyvrátit přirozené tvrzení zvané hypotéza kontinua:
, kde je další moc po.
Ve 1930. letech Gödel dokázal, že hypotéza kontinua je v souladu se standardní axiomatikou, v 1960. letech si Cohen uvědomil, že negace hypotézy kontinua je v souladu s touto axiomatikou; v 1980. letech byla prokázána věta, že „Stanout se může cokoliv .”
Jak lze obecně dokázat, že určité tvrzení je v souladu s nějakou axiomatikou, například s axiomatikou Zermelo–Fraenkel? Musíme to přidat k této axiomatice a postavit model pro výsledný systém výroků. Jeden z modelů je zkonstruován docela jednoduše: musíte opatrně odstranit z řetězce kardinálů všechny mezilehlé mezi a pro každého, pak bude hypotéza kontinua splněna. Druhý model je poněkud složitější.
11.2. Největší kardinál
Někdy začnou teoretici množin hrát hru: kdo dokáže pojmenovat největší množinu, kdo vymyslí největšího kardinála. A takové hry vedou k docela smysluplným definicím a teorémům.
Říkejme tomu kardinální velmi nedosažitelnéje-li pro kterýkoli kardinál méně než množina všech podmnožin je přísně menší. Říkejme tomu kardinální Ulam měřitelný, jestliže existuje spočítatelně aditivní míra na množině všech podmnožin nabývajících na každé množině hodnotu buď , nebo , a , . Dále je nutné požadovat, aby se nejednalo o tzv. -opatření, tedy nemělo tvar
kde je nějaké pevné číslo.
Takové poněkud podivné definice formalizují myšlenku velmi velkých, obrovských kardinálů různými způsoby. Okamžitě vyvstávají zajímavé vlastnosti takových sestav.
4. Dokažte, že pokud je kardinál měřitelný podle Ulama, pak je silně nedosažitelný.
O existenci takových kardinálů vyvstává přirozená otázka (je důležité, aby se to netýkalo výše formulovaného cvičení; i když ani jeden, ani druhý kardinál neexistuje, nikdo nezakazuje dokazovat výroky, které je spojují). Pojďme formulovat problém, který vše vysvětluje.
5. Dokažte, že pokud existuje silně nedosažitelný kardinál, pak je teorie množin se standardním systémem Zermelo-Fraenkelových axiomů konzistentní.
Jak víte, dokázat konzistenci teorie množin je obtížné. Existuje dokonce teorém, který říká, že dělat to je docela problematické. To ukazuje, že právě formulovaný výrok je ve své podstatě velmi silný. Zkusme si představit jeho důkaz.
Existuje-li totiž silně nedosažitelný kardinál, pak je množina všech jeho menších kardinálů uzavřena pod množinovými teoretickými operacemi (sjednocení, průnik atd.), tj. tvoří vnitřní model teorie množin. Operace s kardinály z této množiny nikdy nepřekročíme hranice našeho velmi nedosažitelného kardinála. To znamená, že pomocí prostředků samotné teorie množin jsme sestavili model této teorie množin, tedy prokázali její konzistenci.
Před konstrukcí teorie mohutnosti množin se množiny lišily podle těchto charakteristik: prázdné/neprázdné a konečné/nekonečné, konečné množiny se lišily i počtem prvků. Nekonečné množiny se nedaly srovnávat.
Mohutnost množin umožňuje porovnávat nekonečné množiny. Například spočetné množiny jsou „nejmenší“ nekonečné množiny.
Mohutnost množiny je označena . Někdy tam jsou zápisy , a .
blokové schéma algoritmu pro určení mocniny množiny
Základní číslovka nebo krátce kardinál v teorii množin je objekt, který charakterizuje mohutnost množiny. Kardinální číslo sady A označeno jako |A|, nebo kard A.
Pro konečnou množinu A je kardinální číslo |A| je přirozené číslo, které znamená počet prvků této množiny. Pro nekonečné množiny je kardinální číslo zobecněním pojmu počtu prvků.
I když se kardinální čísla nekonečných množin neodrážejí v přirozených číslech, lze je porovnávat. Nechat A и B jsou nekonečné množiny, pak jsou logicky možné následující čtyři případy:
- Existuje mezi nimi vzájemná korespondence A и B, tj. A ~ B a |A|=|B|.
- Mezi sadou existuje vzájemná korespondence A a nějakou vlastní podmnožinu B’ zástupy B. Pak říkají, že mohutnost souboru A ne více než výkon sady B a zapiš |A|≤|B|.
- Mnoho A je ekvivalentní nějaké podmnožině množiny Ba naopak, mnoho B je ekvivalentní nějaké podmnožině množiny ATo znamená, že A~B’ ⊆ B и B~A’ ⊆ A. Podle Cantor-Bernsteinovy věty v tomto případě platí: A ~ B, to je |A|=|B|.
- Mezi sadou neexistuje žádná osobní korespondence A a libovolnou podmnožinu množiny B a také neexistuje žádná osobní korespondence mezi sadou B a libovolnou podmnožinu množiny A. Z toho vyplývá, že mohutnosti množin A и B nejsou vzájemně srovnatelné.
Hlubší výzkum v teorii množin však ukázal, že na základě axiomu volby je možné prokázat nemožnost existence čtvrtého případu.
Tedy mocniny libovolných dvou množin A и B vždy vzájemně srovnatelné. Tedy pro kardinální čísla |A| a |B| libovolné sady A и B jeden ze tří vztahů je splněn: |A|=|B|, |A|≤|B| nebo |B|≤|A|. Pokud |A|≤|B|, ale mnoho A nerovný mnohým B, pak |A|<|B|.
Definice
Za předpokladu, že axiom výběru je pravdivý, je mohutnost množiny formálně definována jako nejmenší pořadové číslo, u kterého lze ustavit bijektivní korespondenci mezi a . Tato definice se také nazývá von Neumannovo rozdělení kardinálních čísel.
Pokud nepřijmeme axiom volby, pak je zapotřebí jiný přístup. Úplně první definice mohutnosti množiny (je implicitní v dílech Cantora a výslovně formulována ve Frege, stejně jako v Principia Mathematica) je třída všech množin se stejnou mohutností. V axiomatických systémech založených na teorii ZFC není taková definice použitelná, protože pokud není prázdná, je taková sbírka příliš velká, aby se vešla do definice množiny. Přesněji řečeno, if , pak existuje injektivní zobrazení univerzální množiny na , pod kterým každá množina přechází do , z čehož na základě axiomu omezení velikosti vyplývá, že jde o správnou třídu. Tuto definici lze použít v teorii typů a „nových základech“ [cs], stejně jako v souvisejících axiomatických systémech. V případě ZFC lze definici použít omezením kolekce na stejné množiny s nejmenší hodností (tato technika navržená Danou Scottovou funguje, protože kolekce objektů s danou hodností je množina).
Formální pořadí mezi hlavními čísly je zavedeno takto: znamená, že množinu lze injektivně mapovat na . Podle Cantor-Bernsteinovy věty z dvojice nerovnic vyplývá, že . Axiom výběru je ekvivalentní tvrzení, že pro libovolné množiny a alespoň jedna z nerovností je splněna nebo.
Množina se nazývá nekonečná podle Dedekinda, pokud obsahuje správnou podmnožinu takovou, že . Jinak se množina nazývá Dedekind konečná. Konečná kardinální čísla se shodují s běžnými přirozenými čísly – jinými slovy, množina je konečná právě tehdy, když pro nějaké přirozené číslo . Všechny ostatní množiny jsou nekonečné. Pokud je dodržen axiom výběru, lze prokázat, že Dedekindovy definice se shodují se standardními. Navíc lze prokázat, že mocninou množiny přirozených čísel (alef-nula, nebo aleph-0 – název je odvozen od prvního písmene hebrejské abecedy) je nejmenší nekonečně velké kardinální číslo, tzn. v každé nekonečné množině existuje podmnožina moci. Je určeno další kardinální číslo v pořadí a tak dále, počet alefů je nekonečný. Jakékoli řadové číslo odpovídá kardinálnímu číslu a tímto způsobem lze popsat jakékoli nekonečně velké kardinální číslo.
Související definice
- Mohutnost množiny přirozených čísel je označena symbolem („aleph-nula“). Sada se nazývá nekonečný, jestliže jeho mohutnost (není menší než mohutnost množiny přirozených čísel), jsou tedy spočetné množiny „nejmenší“ z nekonečných množin. Následující základní čísla ve vzestupném pořadí jsou označena (kde index prochází všemi základními čísly). Neexistuje žádné největší kardinální číslo: pro jakoukoli sadu kardinálních čísel existuje kardinální číslo větší než všechny prvky této sady.
- O množinách, které jsou svou mohutností rovny množině všech reálných čísel, se říká, že mají mohutnost kontinua a mohutnost takových množin je označena symbolem . Předpoklad, že , se nazývá hypotéza kontinua.
- Pro kardinality, stejně jako v případě konečných množin, existují pojmy: „rovnost“, „více“, „méně“. To znamená, že pro všechny sady je možná pouze jedna ze tří:
- , nebo a mají stejnou moc;
- Nebo silnější , to znamená, že obsahuje podmnožinu, která má stejnou moc, ale ne stejnou moc;
- , nebo výkonnější – v tomto případě obsahuje podmnožinu, která má stejnou sílu, ale ne stejnou sílu.
- Situace, kdy oba nejsou stejně mocní a ani jeden z nich nemá část rovnocennou druhému, je nemožná. Hovoří o tom web https://intellect.icu. To vyplývá ze Zermelovy věty. Jinak by to znamenalo existenci nesrovnatelných mocností (což je v zásadě možné, pokud nepřijmeme axiom volby).
- Situace, ve které a je nemožná podle Cantor-Bernsteinovy věty.
Příklady
- Množina se nazývá konečná, pokud je ekvivalentní segmentu přirozené řady pro nějaké nezáporné celé číslo. Číslo vyjadřuje počet prvků konečné množiny. Když sada neobsahuje žádné prvky (prázdná sada). Jestliže , pak neexistuje žádné injektivní zobrazení od do (Dirichletův princip), což znamená, že mezi nimi neexistuje žádná bijekce. Proto mají sady různé síly.
- Množina se nazývá spočetná, pokud je rovna množině všech přirozených čísel. Počitatelné sady jsou:
- Dostatek pro všechny přírodní . Korespondence: .
- Hromada . Korespondence: .
- Sada celých čísel. Korespondence se získá porovnáním členů řady s jejími dílčími součty (členy řady se berou bez zohlednění znaménka).
- Sada dvojic přirozených čísel.
- Množina racionálních čísel je injektivně mapována do množiny (neredukovatelný zlomek tvaru odpovídá dvojici čísel ). Proto je množina racionálních čísel jen spočetná. Ale protože obsahuje množinu přirozených čísel, není menší než spočetná. Podle Cantor-Bernsteinovy věty je to spočetné.
- Nekonečné množiny, které se množině nerovnají, se nazývají nespočitatelné. Množina nekonečných posloupností složených z čísel 0 a 1 je podle Cantorovy věty nespočetná. Mohutnost této množiny se nazývá kontinuum.
- Mohutnost množiny reálných čísel je rovna kontinuu.
Vlastnosti
- Dvě finále množiny jsou si rovny právě tehdy, když se skládají ze stejného počtu prvků. To znamená, že pro konečnou množinu se koncept moci shoduje s obvyklým konceptem kvantity.
- U nekonečných množin se mohutnost množiny může shodovat například s mohutností její vlastní podmnožiny.
- Množina je navíc nekonečná právě tehdy, když obsahuje stejně silnou vlastní (tj. neshodující se s hlavní množinou) podmnožinu.
- Jakákoli nekonečná množina se rovná množině všech jejích finále podmnožiny
- Cantorova věta Množina všech podmnožin množiny A má větší sílu než A, nebo .
- Zejména existuje množina výkonnější než kterákoli daná.
Aritmetika kardinálních čísel
Obyčejné aritmetické operace na přirozených číslech lze zobecnit na případ kardinálních čísel. Lze také ukázat, že v případě konečných kardinálních čísel se tyto operace shodují s odpovídajícími aritmetickými operacemi na číslech. Kromě toho si operace s kardinálními čísly zachovávají mnoho vlastností běžných aritmetických operací.
Další kardinální číslo
Podle axiomu výběru je možné pro každé kardinální číslo určit číslo, které za ním následuje, a mezi a nejsou žádná další kardinální čísla. Pokud samozřejmě, pak se následující kardinální číslo shoduje s . V případě nekonečných je další kardinální číslo jiné než následující řadové číslo.
Doplnění kardinálních čísel
Pokud množiny nemají společné prvky, pak je součet mohutností určen mohutností jejich svazku. Pokud existují společné prvky, mohou být původní množiny nahrazeny disjunktními množinami stejné mohutnosti – například nahrazeny , a .
Nulová neutralita vzhledem k adici:
Monotónnost (neklesající) sčítání pro oba argumenty:
Součet dvou nekonečných kardinálních čísel lze snadno vypočítat dodržením axiomu výběru. Pokud je jedno z čísel nebo nekonečné, pak
Odčítání
S výhradou axiomu výběru, pro jakékoli nekonečné kardinální číslo a libovolné kardinální číslo, existence , pro , je ekvivalentní nerovnosti . Toto je jedinečné (a shoduje se s) právě tehdy, když .
Násobení kardinálních čísel
Součin dvou kardinálních čísel je vyjádřen kartézským součinem množin:
Neutralita jedničky vzhledem k násobení:
Monotónnost (neklesající) násobení s ohledem na oba argumenty:
Distributivita násobení vzhledem k sčítání:
Analogicky se sčítáním lze snadno vypočítat součin dvou nekonečných kardinálních čísel, s výhradou zvoleného axiomu. Pokud se čísla a liší od nuly a alespoň jedno z nich je nekonečné, pak
Divize
S výhradou axiomu výběru pro libovolnou dvojici kardinálních čísel a , kde je nekonečno a nerovná se nule, existence , pro něž , je ekvivalentní nerovnosti . Toto je jedinečné (a shoduje se s) právě tehdy, když .
Zvyšování kardinálních čísel na mocniny
Umocnění je definováno takto:
kde označuje množinu všech funkcí od do .
(zejména), viz Prázdná funkce
Všimněte si, jaká je mohutnost booleovské hodnoty a tedy pro libovolnou množinu (viz Cantorova diagonální metoda). Z toho vyplývá, že mezi kardinálními čísly není žádné největší (protože pro jakékoli kardinální číslo lze zadat větší číslo). Ve skutečnosti je třída všech kardinálních čísel správná (ačkoli v některých axiomatizacích teorie nelze tuto množinu dokázat – takový je například systém „Nových základů“ [cs]).
Všechna následující tvrzení uvedená v této části jsou založena na zvoleném axiomu.
Jestliže a jsou konečná čísla větší než 1 a jsou nekonečným kardinálním číslem, pak Jestliže je kardinální číslo nekonečné a konečné a odlišné od nuly, pak .
Jestliže a , a alespoň jeden z nich je nekonečný, pak
Pomocí Koenigovy věty můžeme dokázat, že pro libovolné nekonečné kardinální číslo platí následující nerovnosti:
kde označuje uzavřenost.
Extrakce kořenů
S výhradou axiomu výběru pro každého nekonečného kardinála a konečného kardinála existuje kardinální číslo, pro které , a .
Logaritmy
S výhradou axiomu výběru, kardinální číslo, které splňuje podmínku, dané nekonečné a konečné číslo, ne vždy existuje. Pokud taková věc existuje, pak je nekonečná a menší než , a každé konečné kardinální číslo také splní rovnost .
Logaritmus nekonečného kardinálního čísla je nejmenší kardinální číslo, které splňuje podmínku. Navzdory skutečnosti, že logaritmy nekonečně velkých kardinálních čísel postrádají některé vlastnosti charakteristické pro logaritmy kladných reálných čísel, ukazují se být užitečné v některých oblastech matematiky – zejména při studiu kardinálních invariantů topologických prostorů.
Hypotéza kontinua
Podle hypotézy kontinua nejsou mezi a žádná další kardinální čísla. Kardinální číslo je také označeno a představuje sílu kontinua (tj. množiny reálných čísel). V tomto případě . Zobecněná hypotéza kontinua popírá existenci kardinálních čísel striktně mezi a pro jakoukoli nekonečnou množinu. Hypotéza kontinua je nezávislá na standardní axiomatizaci teorie množin, tedy na systému Zermelo-Fraenkelových axiomů kombinovaných s axiomem výběru (viz Zermelo-Fraenkelova teorie množin).
Páni!! Vy jste to ještě nečetli? To je marné!
- Pořadové číslo
- TRANSFINITNÍ ČÍSLO
Výzkum popsaný v článku o síle setu zdůrazňuje jeho význam v moderním světě. Doufám, že nyní chápete, co je mohutnost množiny, kardinální číslo množiny, kardinální číslo, kardinál a proč je to všechno potřeba, a pokud nerozumíte, nebo máte nějaké připomínky, tak nestyďte se, napište nebo se ptejte do komentářů, ráda odpovím. Pro hlubší pochopení důrazně doporučuji prostudovat všechny informace z kategorie Diskrétní matematika. Teorie množin. Teorie grafů. Kombinatorika.
